Introdução

O dodecafonismo foi criado pelo compositor vienense Arnold Schoenberb (1874-1951) juntamente com os seus discípulos Alban Berg (1885-1935) e Anton Webern (1883-1945). O  objectivo era encontrar novas fórmulas que contrariassem o conceito de tonalidade.  A designação " Escola de Viena do Século XX" ficou  para sempre atribuída Arnold Schoenbergo trio Schoenberg-Berg-Webern. É neste contexto que, em 1923, com a obra Five Piano Pieces, Opus 23, Shoenberg apresenta o dodecafonismo como  um novo sistema de composição.

A tonalidade, isto é, a prática de organizar uma música em redor de uma nota particular (a tónica), tem sido um aspecto primordial na composição musical. A tónica define um tom central e, em torno dela, gravitam a harmonia e a melodia. O dodecafonismo criado por Schoenberg tem a intenção de acabar com este papel central da tónica assim como com a hierarquia que a tonalidade estabelece entre as 7 notas da escala tradicional.  

O princípio básico é o de que cada uma das 12 notas musicais que compõem a oitava deverá ter o mesmo número de ocorrências em cada composição musical. Este método sofisticado consiste em fixar uma determinada ordenação das 12 notas da escala cromática previamente escolhida pelo compositor. Assim, os 12 sons ordenados sequencialmente (sem qualquer repetição), arranjados numa determinada ordem e usados em qualquer oitava e em qualquer ritmo, poderão constituir uma série. Após a escolha de uma série de 12 notas, a qual servirá como base a cada composição, só se poderá utilizar essa série na sua forma original ou, então, outras que estejam em simetria com esta. É o caso da série invertida ou retrógrada (lida do fim para o princípio) e da transposta por alguns meios tons. Tendo como regra que nenhuma série comece antes de terminar a anterior, consegue-se que, no final, apareçam as 12 notas o mesmo número de vezes.

Mas, qual afinal a relação desta técnica de composição musical com a matemática. É que as regras deste sistema de composição são passíveis de uma tradução matemática. Na verdade, as notas podem ser representadas através de números, associando a cada uma delas um número. Por exemplo, a notas consecutivas podemos fazer corresponder números consecutivos e, assim, construir uma série efectuando operações no chamado conjunto dos inteiros módulo 12. Uma série pode então ser definida como uma permutação dos inteiros 0, 1, 2.11. No entanto, nem todas estas permutações são utilizadas como séries. Aos compositores não interessam todos os tipos de séries, mas apenas aquelas que têm determinadas propriedades musicais.